Question

一個不透明的口袋內(nèi)裝有材質(zhì)、重量、大小相同的7個小球，且每個小球的球面上要么只寫有數(shù)字“2012”，要么只寫有文字“奧運會”．假定每個小球每一次被取出的機會都相同，又知從中摸出2個球都寫著“奧運會”的概率是

1

7

．現(xiàn)甲、乙兩個小朋友做游戲，方法是：不放回從口袋中輪流摸取一個球，甲先取、乙后取，然后甲再取，直到兩個小朋友中有一人取得寫著文字“奧運會”的球時游戲終止．
（1）求該口袋內(nèi)裝有寫著數(shù)字“2012”的球的個數(shù)；
（2）求當游戲終止時總球次數(shù)ξ的概率分布列和期望Eξ．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）設(shè)該口袋內(nèi)裝有寫著“2010”的球的個數(shù)為n個，依據(jù)條件列出方程得

C 2 7-n

C 2 7

=

1

7

，解之得所求結(jié)果．
（2）ξ的所有可能值為：1，2，3，4，5，求出ξ取每一個值時對應(yīng)的概率，即得分布列，有分布列，依據(jù)求數(shù)學期望的公式求得期望Eξ．

解答： （15分）
（1）解：（1）設(shè)該口袋內(nèi)裝有寫著“2012”的球的個數(shù)為n個．
依題意得

C 2 7-n

C 2 7

=

1

7

，解得n=4
∴該口袋內(nèi)裝有寫著“2012”的球的個數(shù)為4個（6分）
（2）ξ的所有可能值為：1，2，3，4，5．
且P（ξ=1）=

3

7

，P（ξ=2）=

4

7

×

3

6

=

2

7

，
P（ξ=3）=

4

7

×

3

6

×

3

5

=

6

35

，
P（ξ=4）=

4

7

×

3

6

×

2

5

×

3

4

=

3

35

，
P（ξ=5）=

4

7

×

3

6

×

2

5

×

1

4

×

3

3

=

1

35

．
故ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4	5
P	3 7	2 7	6 35	3 35	1 35

（11分）
期望Eξ=11×

3

7

+2×

2

7

+3×

6

35

+4×

3

35

+5×

1

35

=2．（14分）

點評：本題考查隨機事件的概率的求法，以及求離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的方法，是中檔題．