Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)，且曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的斜率為4﹣c．
（1）確定a，b的值；
（2）若c=3，判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（x）有極值，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）

∴f′（x）=2ae2x+2be﹣2x﹣c，

由f′（x）為偶函數(shù)，可得2（a﹣b）（e2x﹣e﹣2x）=0，

即a=b，

又∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的斜率為4﹣c，

即f′（0）=2a+2b﹣c=4﹣c，

故a=b=1；

（2）解：當(dāng)c=3時(shí)，f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2 =1＞0恒成立，

故f（x）在定義域R為均增函數(shù)；

（3）解：由（1）得f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣c，

而2e2x+2e﹣2x≥2 =4，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，

當(dāng)c≤4時(shí)，f′（x）≥0恒成立，故f（x）無(wú)極值；

當(dāng)c＞4時(shí)，令t=e2x，方程2t+ ﹣c=0的兩根均為正，

即f′（x）=0有兩個(gè)根x1，x2，

當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，

故當(dāng)x=x1，或x=x2時(shí)，f（x）有極值，

綜上，若f（x）有極值，c的取值范圍為（4，+∞）

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)，且曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的斜率為4﹣c，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，可得a，b的值；（2）將c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，進(jìn)而可得f（x）在定義域R為均增函數(shù)；（3）結(jié)合基本不等式，分c≤4時(shí)和c＞4時(shí)兩種情況討論f（x）極值的存在性，最后綜合討論結(jié)果，可得答案