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【題目】已知函數
(1)當a<0時,若x>0,使f(x)≤0成立,求a的取值范圍;
(2)令g(x)=f(x)﹣(a+1)x,a∈(1,e],證明:對x1 , x2∈[1,a],恒有|g(x1)﹣g(x2)|<1.

【答案】
(1)解:當a<0,由

令f′(x)=0,

列表:

x

f′(x)

0

+

f(x)

減函數

極小值

增函數

這是

x>0,使f(x)≤0成立,

,

∴a≤﹣e,

∴a范圍為(﹣∞,﹣e].


(2)解:因為對x∈[1,a], ,所以g(x)在[1,a]內單調遞減.所以

要證明|g(x1)﹣g(x2)|<1,

只需證明 <1,

即證明 <0.

>0,

所以 在a∈(1,e]是單調遞增函數,

所以 <0,

故命題成立


【解析】(1)求出函數f(x)的導函數,令導函數等于0求出根,列出x,f′(x),f(x)的情況變化表,通過表得到函數的最小值,令最小值小于等于0即可.(2)求出g(x)的導函數,判斷出導函數的符號,得到函數g(x)遞減,求出g(x)的最大值及最小值,通過分析法只需證得最大值與最小值差的絕對值小于1即可,構造新函數h(x),h(x)的導函數,判斷出其符號,進一步求出h(x)的最大值,得證.
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞減.

練習冊系列答案
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