Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）當a＜0時，若x＞0，使f（x）≤0成立，求a的取值范圍；
（2）令g（x）=f（x）﹣（a+1）x，a∈（1，e]，證明：對x1 ， x2∈[1，a]，恒有|g（x1）﹣g（x2）|＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a＜0，由 ．

令f′（x）=0，

∴

列表：

x
f′（x）	﹣	0	+
f（x）	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

這是 ．

∵x＞0，使f（x）≤0成立，

∴ ，

∴a≤﹣e，

∴a范圍為（﹣∞，﹣e]．

（2）解：因為對x∈[1，a]， ，所以g（x）在[1，a]內(nèi)單調(diào)遞減．所以 ．

要證明|g（x1）﹣g（x2）|＜1，

只需證明 ＜1，

即證明 ＜0．

令 ，

＞0，

所以 在a∈（1，e]是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以 ＜0，

故命題成立

【解析】（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出根，列出x，f′（x），f（x）的情況變化表，通過表得到函數(shù)的最小值，令最小值小于等于0即可．（2）求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號，得到函數(shù)g（x）遞減，求出g（x）的最大值及最小值，通過分析法只需證得最大值與最小值差的絕對值小于1即可，構(gòu)造新函數(shù)h（x），h（x）的導(dǎo)函數(shù)，判斷出其符號，進一步求出h（x）的最大值，得證．
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．