【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的極值點個數(shù);
(2)若有兩個極值點,試判斷與的大小關(guān)系并證明.
【答案】(1)答案不唯一,具體見解析(2),詳見解析
【解析】
(1)由已知令,得,記,則函數(shù)的極值點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與y=2a的交點個數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)得到在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),且,對a分情況討論,即可得到函數(shù)的極值點個數(shù)情況;
(2)由已知令,可得,記,利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性,可得,當(dāng)時,,所以當(dāng)即時有2個極值點,從而得到,所以,即.
解:(1),
令,得,記,則,
令,得;令,得,
∴在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),且,
∴當(dāng)即時,無解,∴無極值點,
當(dāng)即時,有一解,,即,
恒成立,無極值點,
當(dāng),即時,有兩解,有2個極值點,
當(dāng)即時,有一解,有一個極值點.
綜上所述:當(dāng),無極值點;時,有2個極值點;
當(dāng),有1個極值點;
(2),,
令,則,,
記,則,
由得,由,得,
在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),
,當(dāng)時,,
∴當(dāng)即時,
有2個極值點,
由,
得,
,
不妨設(shè)則,,
又在上是減函數(shù),
,
,
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的方程為,則下列結(jié)論正確的是( )
A.當(dāng)時,曲線為橢圓,其焦距為
B.當(dāng)時,曲線為雙曲線,其離心率為
C.存在實數(shù)使得曲線為焦點在軸上的雙曲線
D.當(dāng)時,曲線為雙曲線,其漸近線與圓相切
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【題目】對于函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù),),函數(shù),給出下列結(jié)論:
①函數(shù)的圖象在處的切線在軸的截距為
②函數(shù)是奇函數(shù),且在上單調(diào)遞增;
③函數(shù)存在唯一的極小值點,其中,且;
④函數(shù)存在兩個極小值點,和兩個極大值點,且.
其中所有正確結(jié)論的序號是( )
A.①②③B.①④C.①③④D.②④
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,點的極坐標(biāo),直線經(jīng)過點,且傾斜角為.
(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程;
(2)直線與曲線交于兩點,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線與曲線交于兩點,求證:.
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【題目】平面向量,共線的充要條件是( )
A.
B.,兩向量中至少有一個為零向量
C.λ∈R,
D.存在不全為零的實數(shù)λ1,λ2,
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【題目】已知函數(shù),其中a為正實數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個極值點,,求證:.
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【題目】已知橢圓C:1(a>b>0)的一個頂點坐標(biāo)為A(0,﹣1),離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線y=k(x﹣1)(k0)與橢圓C交于不同的兩點P,Q,線段PQ的中點為M,點B(1,0),求證:點M不在以AB為直徑的圓上.
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【題目】如圖,在三棱錐中,、、分別為棱、、的中點,平面,,,,則( )
A.三棱錐的體積為
B.直線與直線垂直
C.平面截三棱錐所得的截面面積為
D.點與點到平面的距離相等
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