Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），M是圓C₁上得動(dòng)點(diǎn)，MN⊥x軸，垂足為N，P是線段MN的中點(diǎn)，點(diǎn)P的軌跡為曲線C₂．
（1）求C₂的參數(shù)方程；
（2）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ=$\frac{π}{6}$與C₁的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C₂的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求△C₁AB的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），則M（x，2y），由點(diǎn)M在C₁上，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{2y=2+2sinα}\end{array}\right.$，化簡(jiǎn)即可得出C₂的參數(shù)方程．
（2）圓C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），化為普通方程，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得極坐標(biāo)方程．C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），化為普通方程，同理可得極坐標(biāo)方程．射線$θ=\frac{π}{6}$與C₁的交點(diǎn)A的極徑ρ₁=$4sin\frac{π}{6}$．射線$θ=\frac{π}{6}$與C₂的交點(diǎn)B的極徑ρ₂=$\frac{8sin\frac{π}{6}}{1+3si{n}^{2}\frac{π}{6}}$，可得|AB|=|ρ₁-ρ₂|，又C₁到BA的距離d=$2sin\frac{π}{3}$．即可得出${S}_{△{C}_{1}AB}$=$\frac{1}{2}$|BA|•d．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），則M（x，2y），∵點(diǎn)M在C₁上，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{2y=2+2sinα}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=a+sinα}\end{array}\right.$．
∴C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（2）圓C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），化為普通方程：x²+（y-2）²=4，展開(kāi)為：x²+y²-4y=0．可得極坐標(biāo)方程為：ρ²-4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．
C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），化為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}$+（y-1）²=1，展開(kāi)為：x²+4y²-8y+3=0，
可得極坐標(biāo)方程：ρ²（1+3sin²θ）-8ρsinθ=0．即ρ（1+3sin²θ）=8sinθ．
射線$θ=\frac{π}{6}$與C₁的交點(diǎn)A的極徑ρ₁=$4sin\frac{π}{6}$=2．
射線$θ=\frac{π}{6}$與C₂的交點(diǎn)B的極徑ρ₂=$\frac{8sin\frac{π}{6}}{1+3si{n}^{2}\frac{π}{6}}$=$\frac{16}{7}$．
∴|AB|=|ρ₁-ρ₂|=$\frac{2}{7}$，又C₁到BA的距離d=$2sin\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
∴${S}_{△{C}_{1}AB}$=$\frac{1}{2}$|BA|•d=$\frac{1}{2}×\frac{2}{7}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程、直線與曲線的交點(diǎn)、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．