Question

10．直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{t}{2}}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線(xiàn)C：ρ=1，
（1）寫(xiě)出直線(xiàn)l的普通方程與曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；
（2）點(diǎn)P（1，2）為直線(xiàn)l上一點(diǎn)，設(shè)曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=y}\end{array}\right.$得到曲線(xiàn)C′，若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C′相交于A，B兩點(diǎn)，求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{t}{2}}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得直角坐標(biāo)方程．由曲線(xiàn)C：ρ=1，利用ρ²=x²+y²可得直角坐標(biāo)方程．
（2）由伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=y}\end{array}\right.$得到$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}{x}^{′}}\\{y={y}^{′}}\end{array}\right.$，代入曲線(xiàn)C可得曲線(xiàn)C′：$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{4}$+（y′）²=1．把直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入可得：13t²+$（32\sqrt{3}+4）$x+42=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}+{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$．

解答 解：（1）直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{t}{2}}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：$\sqrt{3}$x-y+2-$\sqrt{3}$=0，
由曲線(xiàn)C：ρ=1，可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=1．
（2）由伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=y}\end{array}\right.$得到$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}{x}^{′}}\\{y={y}^{′}}\end{array}\right.$，代入曲線(xiàn)C可得曲線(xiàn)C′：$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{4}$+（y′）²=1．
故曲線(xiàn)C′的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
把直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入可得：13t²+$（32\sqrt{3}+4）$x+42=0，∴t₁+t₂=-$\frac{32\sqrt{3}+4}{13}$，t₁t₂=4．
∴$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}+{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{8\sqrt{3}+1}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、坐標(biāo)變換，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．