Question

7．?dāng)?shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，且滿足a_n+1=f（a_n），a₁∈（0，1），則f（x）不可能是（　　）

• A． f（x）=$\sqrt{x}$
• B． f（x）=2^x-1
• C． f（x）=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$
• D． f（x）=log₂（x+1）

Answer 1

分析 A．由a₁∈（0，1），可得${a}_{n+1}=\sqrt{{a}_{n}}$＞a_n，即可判斷出數(shù)列{a_n}的單調(diào)性；
B．由a₁∈（0，1），不妨取a₁=$\frac{1}{2}$，則a₂=${2}^{\frac{1}{2}}$-1=$\sqrt{2}$-1$＜\frac{1}{2}$，即可判斷出數(shù)列{a_n}的單調(diào)性；
C：f（x）=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，令2x-x²≥0，可得得0≤x≤2．由f（x）=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$=$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性及其a₁∈（0，1），即可判斷出數(shù)列{a_n}的單調(diào)性；
D．利用幾何畫(huà)板畫(huà)出圖象y=log₂（x+1），y=x，可知：在x∈（0，1）時(shí)，log₂（x+1）＞x，即可判斷出數(shù)列{a_n}的單調(diào)性．

解答 解：對(duì)于A．∵a₁∈（0，1），∴${a}_{n+1}=\sqrt{{a}_{n}}$＞a_n，可得數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列
對(duì)于B．∵a₁∈（0，1），不妨取a₁=$\frac{1}{2}$，則a₂=${2}^{\frac{1}{2}}$-1=$\sqrt{2}$-1$＜\frac{1}{2}$，因此數(shù)列{a_n}不是遞增數(shù)列；
對(duì)于C：f（x）=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，令2x-x²≥0，解得0≤x≤2．由f（x）=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$=$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$，可知：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)1≤x≤2時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．∵a₁∈（0，1），∴數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列；
對(duì)于D．利用幾何畫(huà)板畫(huà)出圖象y=log₂（x+1），y=x，可知：在x∈（0，1）時(shí)，log₂（x+1）＞x，
∴a_n+1=log₂（a_n+1）＞a_n，因此數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．