Question

13．設(shè)點(diǎn)P、Q分別是曲線y=xe^-x（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）和直線y=x+3上的動(dòng)點(diǎn)，則P、Q兩點(diǎn)間距離的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 對(duì)曲線y=xe^-x進(jìn)行求導(dǎo)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分析知道，過(guò)點(diǎn)P直線與直線y=x+2平行且與曲線相切于點(diǎn)P，從而求出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵點(diǎn)P是曲線y=xe^-x上的任意一點(diǎn)，和直線y=x+3上的動(dòng)點(diǎn)Q，
求P，Q兩點(diǎn)間的距離的最小值，就是求出曲線y=xe^-x上與直線y=x+3平行的切線與直線y=x+3之間的距離．
由y′=（1-x）e^-x ，令y′=（1-x）e^-x =1，解得x=0，
當(dāng)x=0，y=0時(shí)，點(diǎn)P（0，0），
P，Q兩點(diǎn)間的距離的最小值，即為點(diǎn)P（0，0）到直線y=x+3的距離，
∴d_min=$\frac{|3|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程以及點(diǎn)到直線的距離公式，利用了導(dǎo)數(shù)與斜率的關(guān)系，這是高考�？嫉闹�識(shí)點(diǎn)，是基礎(chǔ)題．