【題目】已知函數(shù),.
(1)若,且直線是曲線的一條切線,求實數(shù)的值;
(2)若不等式對任意恒成立,求的取值范圍;
(3)若函數(shù)有兩個極值點,,且,求的取值范圍.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】
(1)代入a的值,根據(jù)切線方程得到關(guān)于x0的方程,求出切點坐標,解出m即可;
(2)問題轉(zhuǎn)化為alnx1>0,記g(x)=alnx1,通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而確定a的范圍即可;
(3)法一:求出h(x2)﹣h(x1)的解析式,記m(x)=2[(x)lnxx],x≥1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可;
法二:由h(x)=f(x)﹣x=alnxx,x>0,以及h(x)有兩個極值點x1,x2(x1<x2),得到x1+x2=a,x1x2=1,設(shè)t2(t>1),從而h(x2)﹣h(x1) 等價于 h(t)=(t)lntt,t>1,記m(x)=(x)lnxx,x≥1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.
(1)當時, ,.
設(shè)直線與曲線相切于點,
則,即,
解得,即切點為,
因為切點在上,所以,解得.
(2)不等式可化為.
記, 則對任意恒成立.
考察函數(shù), ,.
當時, ,在上單調(diào)遞減,又,
所以,不合題意;
當時, ,;, ,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
若,即時,在上單調(diào)遞增,
所以時, ,符合題意;
若,即時,在上單調(diào)遞減,
所以當時, ,不符合題意;
綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.
(3)方法一:,,.
因為有兩個極值點, ,
所以,即的兩實數(shù)根為, , ,
所以, , ,所以, ,
從而
.
記,.
則 (當且僅當時取等號),
所以在上單調(diào)遞增,又,
不等式可化為,所以.
因為,且在上遞增,所以,
即的取值范圍為.
方法二:, ,.
因為有兩個極值點, ,
所以,即的兩實數(shù)根為, , ,
所以, , ,所以,.
設(shè),則, ,所以, , ,
從而等價于,.
記,.
則 (當且僅當時取等號),
所以在上單調(diào)遞增.
又, ,所以.
因為,且在上遞增,所以,
即的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線是拋物線的準線,直線,且與拋物線沒有公共點,動點在拋物線上,點到直線和的距離之和的最小值等于2.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)點在直線上運動,過點做拋物線的兩條切線,切點分別為,在平面內(nèi)是否存在定點,使得恒成立?若存在,請求出定點的坐標,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若,且直線是曲線的一條切線,求實數(shù)的值;
(2)若不等式對任意恒成立,求的取值范圍;
(3)若函數(shù)有兩個極值點,,且,求的取值范圍.
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【題目】第一屆“一帶一路”國際合作高峰論壇于2017年5月14日至15日在北京舉行,這是2017年我國重要的主場外交活動,對推動國際和地區(qū)合作具有重要意義.某高中政教處為了調(diào)查學生對“一帶一路”的關(guān)注情況,在全校組織了“一帶一路知多少”的知識問卷測試,并從中隨機抽取了12份問卷,得到其測試成績(百分制),如莖葉圖所示.
(1)寫出該樣本的眾數(shù)、中位數(shù),若該校共有3000名學生,試估計該校測試成績在70分以上的人數(shù);
(2)從所抽取的70分以上的學生中再隨機選取4人.
①記表示選取4人的成績的平均數(shù),求;
②記表示測試成績在80分以上的人數(shù),求的分布和數(shù)學期望.
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【題目】如圖,四面體ABCD中,O是BD的中點,AB=AD=2,.
(1)求證:AO⊥平面BCD;
(2)求異面直線AD與BC所成角的余弦值的大。
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【題目】已知中心在原點,焦點在軸上,離心率為的橢圓過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓與軸的非負半軸交于點,過點作互相垂直的兩條直線,分別交橢圓于兩點,連接,求的面積的最大值.
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【題目】是拋物線為上的一點,以S為圓心,r為半徑做圓,分別交x軸于A,B兩點,連結(jié)并延長SA、SB,分別交拋物線于C、D兩點.
求拋物線的方程.
求證:直線CD的斜率為定值.
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