Question

8．已知函數f（x）=a（x+$\frac{1}{x}}$），（x＞0，a＞0），點P為函數y=f（x）圖象上一動點．
（1）當a=2時，過點P分別向y軸及直線y=2x作垂線，垂足分別為點A，B，試計算線段PA，PB長度之積PA•PB的值；
（2）作曲線y=f（x）在點P處的切線l，記直線l與y軸及直線y=ax的交點分別為M，N，試計算線段PM，PN長度比值$\frac{PM}{PN}$．

Answer 1

分析 （1）設點P的坐標為$P（{{x_0}，2{x_0}+\frac{2}{x_0}}）$，則$A（{0，2{x_0}+\frac{2}{x_0}}）$，求出B的坐標，即可計算線段PA，PB長度之積PA•PB的值；
（2）確定點$P（{{x_0}，a{x_0}+\frac{a}{x_0}}）$為點$M（{0，\frac{2a}{x_0}}）$和點N（2x₀，2ax₀）的中點，即可計算線段PM，PN長度比值$\frac{PM}{PN}$．

解答 解：（1）當a=2時，$f（x）=2x+\frac{2}{x}$，
設點P的坐標為$P（{{x_0}，2{x_0}+\frac{2}{x_0}}）$，則$A（{0，2{x_0}+\frac{2}{x_0}}）$，…（1分）
依題意，${l_{PB}}：y=-\frac{1}{2}（{x-{x_0}}）+2{x_0}+\frac{2}{x_0}$，…（3分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}（{x-{x_0}}）+2{x_0}+\frac{2}{x_0}\\ y=2x\end{array}\right.$，得$B（{{x_0}+\frac{4}{{5{x_0}}}，2{x_0}+\frac{8}{{5{x_0}}}}）$，…（5分）
∴$PA={x_0}，PB=\sqrt{1+{{（{-\frac{1}{2}}）}^2}}|{（{{x_0}+\frac{4}{{5{x_0}}}}）-{x_0}}|=\frac{{2\sqrt{5}}}{{5{x_0}}}$，…（7分）
∴$PA•PB={x_0}•\frac{{2\sqrt{5}}}{{5{x_0}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$…（8分）
（2）設點P的坐標為$P（{{x_0}，a{x_0}+\frac{a}{x_0}}）$…（9分）
∵$f'（x）=a-\frac{a}{x^2}$，∴${k_{MN}}=f'（{x_0}）=a-\frac{a}{{{x_0}^2}}$，…（11分）
∴${l_{MN}}：y=（{a-\frac{a}{x_0^2}}）（{x-{x_0}}）+a{x_0}+\frac{a}{x_0}$，…（12分）
令x=0，得$M（{0，\frac{2a}{x_0}}）$，…（13分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=（{a-\frac{a}{x_0^2}}）（{x-{x_0}}）+a{x_0}+\frac{a}{x_0}\\ y=ax\end{array}\right.$，得N（2x₀，2ax₀），…（14分）
則點$P（{{x_0}，a{x_0}+\frac{a}{x_0}}）$為點$M（{0，\frac{2a}{x_0}}）$和點N（2x₀，2ax₀）的中點，…（15分）
所以$\frac{PM}{PN}=1$…（16分）

點評 本題考查直線與直線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．