Question

18．已知p：?x∈R，2x＞m（x²+1），q：?x₀∈R，x₀²+2x₀-m-1=0，
（1）若q是真命題，求m的范圍；
（2）若p∧（￢q）為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根的判別式求出m的范圍即可；
（2）分別求出p為真，￢q為真時(shí)的m的范圍，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）若q：?x₀∈R，x₀²+2x₀-m-1=0為真，則方程x²+2x-m-1=0有實(shí)根，
∴4+4（m+1）≥0，
∴m≥-2．-----------------------------------------------------------------------（4分）
（2）2x＞m（x²+1）可化為mx²-2x+m＜0．
若p：?x∈R，2x＞m（x²+1）為真．
則mx²-2x+m＜0對(duì)任意的x∈R恒成立．
當(dāng)m=0時(shí)，不等式可化為-2x＜0，顯然不恒成立；
當(dāng)m≠0時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{4-{4m}^{2}＜0}\end{array}\right.$
∴m＜-1．-------------------------------------------------------（12分）
?q：m＜-2
又p∧?q為真，故p、?q均為真命題．
∴$\left\{\begin{array}{l}m＜-1\\ m＜-2\end{array}\right.$
∴m＜-2．---------------------（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．