Question

若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c滿足a+c=2b，則稱該三角形為“中庸”三角形．已知△ABC為“中庸”三角形，給出下列結(jié)論：
①

a

c

∈（

1

2

，2）；
②

1

a

+

1

c

≥

2

b

；
③B≥

π

3

；
④若

AB

2=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

，則sinB=

4

5

．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：①由|a-c|＜b＜a+c，可得|a-c|＜

a+c

2

＜a+c，解得

a

c

＞

1

3

或

c

a

＞

1

3

．因此

a

c

∈（

1

2

，2）不正確；
②由a+c=2b，利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出

1

a

+

1

c

=

1

2b

(a+c)(

1

a

+

1

c

)=

1

2b

(2+

a

c

+

c

a

)；
③由余弦定理和基本不等式的性質(zhì)可得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

6ac-2ac

8ac

=

1

2

，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
④若

AB

2=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

，利用數(shù)量積的性質(zhì)可得c²=cb•cosA+ca•cosB+ba•cosC，
再利用余弦定理可得：2c²=c²+b²-a²+c²+a²-b²+a²+b²-c²，化為c²=a²+b²，即可得出．

解答： 解：①∵|a-c|＜b＜a+c，∴|a-c|＜

a+c

2

＜a+c，解得

a

c

＞

1

3

或

c

a

＞

1

3

．
因此

a

c

∈（

1

3

，3）不正確；
②∵a+c=2b，∴

1

a

+

1

c

=

1

2b

(a+c)(

1

a

+

1

c

)=

1

2b

(2+

a

c

+

c

a

)≥

1

2b

(2+2

a c • c a

)=

2

b

，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=b時(shí)取等號(hào)，因此正確；
③由余弦定理可得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

6ac-2ac

8ac

=

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，
∵B∈（0，π），∴0＜B≤

π

3

，因此③不正確；
④若

AB

2=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

，則c²=cb•cosA+ca•cosB+ba•cosC，
由余弦定理可得：2c²=c²+b²-a²+c²+a²-b²+a²+b²-c²，
化為c²=a²+b²，∴C=90°．∴c2=a2+(

a+c

2

)2，化為3c²-2ac-5a²=0，解得

c

a

=

5

3

．
∴

c

b

=

5

4

．∴sinB=

b

c

=

4

5

．因此正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角形的三邊大小關(guān)系、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．