Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，a₁=2，S_n+S_n-1=2n²（n≥2，n∈N），則數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項的和為$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 通過在S_n+S_n-1=2n²（n≥2，n∈N）兩邊同時加上a_n可知2S_n=a_n+2n²（n≥2，n∈N），進(jìn)而通過2S_n=a_n+2n²（n∈N）與2S_n-1=a_n-1+2（n-1）²（n≥2，n∈N）作差可知a_n+a_n-1=4n-2，并與a_n+1+a_n=4（n+1）-2作差可知奇數(shù)項、偶數(shù)項均構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，進(jìn)而計算可知a_n=2n，利用等差數(shù)列的求和公式裂項可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，進(jìn)而并項相加即得結(jié)論．

解答 解：∵S_n+S_n-1=2n²（n≥2，n∈N），
∴2S_n=a_n+2n²（n≥2，n∈N），
又∵a₁=2滿足上式，
∴2S_n=a_n+2n²（n∈N），2S_n-1=a_n-1+2（n-1）²（n≥2，n∈N），
兩式相減得：2a_n=a_n-a_n-1+4n-2，
整理得：a_n+a_n-1=4n-2，
∴a_n+1+a_n=4（n+1）-2，
兩式相減得：a_n+1-a_n-1=4，
∵a₂=4×2-2-a₁=4，
∴a_2n=4+4（n-1）=4n，
又∵a_2n-1=2+4（n-1）=4n-2，
∴a_n=2n，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（2+2n）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項的和為1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
故答案為：$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的求和，考查運(yùn)算求解能力，利用裂項相消法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．