【題目】已知函數(shù)

1)當時,求函數(shù)的單調區(qū)間;

2)若函數(shù)既有一個極小值又有一個極大值,求的取值范圍;

3)若存在,使得當時, 的值域是,求的取值范圍.

【答案】(1) 的增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2) (3) .

【解析】試題分析:

(1)時, ,利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調性可得函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為;

(2)求解導函數(shù)有,令,則方程必有兩個不等的正根,據此結合二次方程根的分布可得實數(shù)的取值范圍是

(3)求解導函數(shù), ,分類討論時和時兩種情況可得的取值范圍是.

試題解析:

(1)的定義域為,

時, ,令,

,當時, ,

∴函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為;

2,則,

,若函數(shù)有兩個極值點,

則方程必有兩個不等的正根,

設兩根為,于是,解得,

時, 有兩個不相等的正實根,設為,不妨設

,

時, , , 上為減函數(shù);

時, , 上為增函數(shù);

時, ,函數(shù)上為減函數(shù).

由此, 是函數(shù)的極小值點, 是函數(shù)的極大值點.符合題意

綜上,所求實數(shù)的取值范圍是;

3

①當時, ,

時, 上為減函數(shù);

時, 上為增函數(shù),

所以,當時, 的值域是

不符合題意.

②當時,

i)當,即時,當變化時, 的變化情況如下:

1

-

0

+

0

-

減函數(shù)

極小值

增函數(shù)

極大值

減函數(shù)

若滿足題意,只需滿足,即

整理得,令

時, ,所以上為增函數(shù),

即當時, ,

可見,當時, 恒成立,

故當時,函數(shù)的值域是;

所以滿足題意.

ii)當,即時, ,當且僅當時取等號,

所以上為減函數(shù),從而上為減函數(shù),

符合題意;

iii)當,即時,當變化時, 的變化情況如下表:

1

-

0

+

0

-

減函數(shù)

極小值0

增函數(shù)

極大值

減函數(shù)

若滿足題意,只需滿足,且(若,不符合題意),

,且,

,所以,此時,

綜上,

所以,實數(shù)的取值范圍是

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A.
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C.(﹣∞,6]
D.

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5
6
7
8
9

3 4
1 2 3 4 5 6 7 8

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