【題目】已知圓C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25及直線l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4.(m∈R)
(1)證明:不論m取什么實(shí)數(shù),直線l與圓C恒相交;
(2)求直線l與圓C所截得的弦長的最短長度及此時(shí)直線l的方程.

【答案】
(1)解:直線方程l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4,可以改寫為m(2x+y﹣7)+x+y﹣4=0,所以直線必經(jīng)過直線2x+y﹣7=0和x+y﹣4=0的交點(diǎn).由方程組 解得 即兩直線的交點(diǎn)為A(3,1),

又因?yàn)辄c(diǎn)A(3,1)與圓心C(1,2)的距離 ,

所以該點(diǎn)在C內(nèi),故不論m取什么實(shí)數(shù),直線l與圓C恒相交


(2)解:連接AC,當(dāng)直線l是AC的垂線時(shí),此時(shí)的直線l與圓C相交于B、D.BD為直線l被圓所截得的最短弦長.此時(shí), ,所以 .即最短弦長為

又直線AC的斜率 ,所以直線BD的斜率為2.

此時(shí)直線方程為:y﹣1=2(x﹣3),即2x﹣y﹣5=0


【解析】(1)要證直線l無論m取何實(shí)數(shù)與圓C恒相交,即要證直線l橫過過圓C內(nèi)一點(diǎn),方法是把直線l的方程改寫成m(2x+y﹣7)+x+y﹣4=0可知,直線l一定經(jīng)過直線2x+y﹣7=0和x+y﹣4=0的交點(diǎn),聯(lián)立兩條直線的方程即可求出交點(diǎn)A的坐標(biāo),然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出AC之間的距離d,判斷d小于半徑5,得證;(2)根據(jù)圓的對稱性可得過點(diǎn)A最長的弦是直徑,最短的弦是過A垂直于直徑的弦,所以連接AC,過A作AC的垂線,此時(shí)的直線與圓C相交于B、D,弦BD為最短的弦,接下來求BD的長,根據(jù)垂徑定理可得A是BD的中點(diǎn),利用(1)圓心C到BD的距離其實(shí)就是|AC|的長和圓的半徑|BC|的長,根據(jù)勾股定理可求出 |BD|的長,求得|BD|的長即為最短弦的長;根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)求出直線AC的斜率,然后根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率乘積為﹣1求出直線BD的斜率,又直線BD過A(3,1),根據(jù)斜率與A點(diǎn)坐標(biāo)即可寫出直線l的方程.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)

1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若函數(shù)既有一個(gè)極小值又有一個(gè)極大值,求的取值范圍;

3)若存在,使得當(dāng)時(shí), 的值域是,求的取值范圍.

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【題目】平面直角坐標(biāo)系中,橢圓 )的離心率是,拋物線 的焦點(diǎn)的一個(gè)頂點(diǎn).

1)求橢圓的方程;

2)設(shè)上動點(diǎn),且位于第一象限, 在點(diǎn)處的切線交于不同的兩點(diǎn), ,線段的中點(diǎn)為,直線與過且垂直于軸的直線交于點(diǎn)

i)求證:點(diǎn)在定直線上;

ii)直線軸交于點(diǎn),記的面積為, 的面積為,求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

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【題目】已知四棱錐中,四邊形是菱形, ,又平面,

點(diǎn)是棱的中點(diǎn), 在棱上,且.

(1)證明:平面平面;

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【題目】下面給出的關(guān)系式中正確的個(gè)數(shù)是(
=
=
2=| |2
④( =
⑤| |≤
A.0
B.1
C.2
D.3

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【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinx(sinx+ cosx)﹣1(其中x∈R),求:
(1)函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(3)函數(shù)f(x)圖象的對稱軸和對稱中心.

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(1)求證:BE∥平面PDA;
(2)求四棱錐B﹣CEPD的體積.

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【題目】已知函數(shù)
(1)若m=1,求函數(shù)f(x)的定義域.
(2)若函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間 上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù).

(1)若,解不等式;

(2)若存在實(shí)數(shù),使得不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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