Question

14．A，B二面角α-l-β的棱l上兩點(diǎn)，P∈α，Q∈β，且∠PAB=∠ABQ=$\frac{π}{3}$，PA=QB=$\frac{1}{2}$AB=2，PQ=3，則二面角α-l-β的余弦值是$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 在平面α內(nèi)過(guò)P作PC⊥l，交AB于點(diǎn)C，在平面β內(nèi)作QD⊥l，交AB于D，求出AC=BD=1，PC=QD=$\sqrt{3}$，CD=2，設(shè)二面角α-l-β的平面角為θ，由${\overrightarrow{PQ}}^{2}$=（$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DQ}$）²=${\overrightarrow{PC}}^{2}+{\overrightarrow{CD}}^{2}+{\overrightarrow{DQ}}^{2}$+2|$\overrightarrow{PC}$|•|$\overrightarrow{DQ}$|•cos（180°-θ），能求出二面角α-l-β的余弦值．

解答 解：如圖，在平面α內(nèi)過(guò)P作PC⊥l，交AB于點(diǎn)C，在平面β內(nèi)作QD⊥l，交AB于D，
∵∠PAB=∠ABQ=$\frac{π}{3}$，PA=QB=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴AC=BD=1，PC=QD=$\sqrt{3}$，CD=4-1-1=2，
設(shè)二面角α-l-β的平面角為θ，
∵PQ=3，${\overrightarrow{PQ}}^{2}$=（$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DQ}$）²=${\overrightarrow{PC}}^{2}+{\overrightarrow{CD}}^{2}+{\overrightarrow{DQ}}^{2}$+2|$\overrightarrow{PC}$|•|$\overrightarrow{DQ}$|•cos（180°-θ），
∴9=3+3+4-2×$\sqrt{3}×\sqrt{3}×cosθ$，
解得cosθ=$\frac{1}{6}$．
∴二面角α-l-β的余弦值是$\frac{1}{6}$．
故答案為：$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法、余弦定理的合理運(yùn)用．