Question

9．已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長都是1，且∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=60°，則AA₁與底面ABCD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 如圖所示，連接AC，BD相交于點O．由平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長都是1，且∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=60°，可得：△AA₁B，△AA₁D，△ABD，都是等邊三角形．△A₁BD是等邊三角形．利用等邊三角形、線面面面垂直的判定與性質定理即可得出平面AA₁C⊥平面ABCD，因此∠A₁AC是AA₁與底面ABCD所成角．

解答 解：如圖所示，連接AC，BD相交于點O．
∵平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長都是1，且∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=60°，
∴△AA₁B，△AA₁D，△ABD，都是等邊三角形．
∴△A₁BD是等邊三角形．
∴AC⊥BD，A₁O⊥BD，A₁O∩AC=O，
∴BD⊥平面AA₁C，
∴平面AA₁C⊥平面ABCD，
∴∠A₁AC是AA₁與底面ABCD所成角．
AA₁=1，AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=A₁O，
cos∠A₁AO=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了平行六面體的性質、菱形的性質、等邊三角形的性質、線面面面垂直的判定與性質定理、空間角，考查了數形結合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．