Question

14．在直角坐標系xOy中，在直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{2}+2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ．
（1）求曲線C的直角坐標方程及直線l的普通方程；
（2）將曲線C上的各點的橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$，再將所得的曲線向左平移1個單位，得到曲線C₁，求曲線C₁上的點到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （I）消參數(shù)得出l的普通方程，根據(jù)極坐標與直角坐標的對應關系得出曲線C的普通方程；
（II）求出C₁的方程，在C₁上任意取一點M（cosθ，2sinθ），代入點到直線的距離公式求出距離的最大值．

解答 解：（Ⅰ）直線l的普通方程為$y=2x+\sqrt{2}$；
∵曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4．
（Ⅱ）設P（x₀，y₀）為曲線C上任意一點，則P′（$\frac{1}{2}{x}_{0}$-1，y₀）為曲線C₁上的點，
設P′（x，y），則x₀=2x+2，y₀=y，
∴4x²+y²=4，即${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$．
∴曲線C₁的方程為：${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$．
設M（cosθ，2sinθ）為曲線C₁上任意一點，
則M到直線l：$2x-y+\sqrt{2}=0$的距離為$d=\frac{{|{2cosθ-2sinθ+\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|{2\sqrt{2}cos（{θ+\frac{π}{4}}）+\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{5}}}$．
∴當cos（$θ+\frac{π}{4}$）=1時，d取得最大值$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程與普通方程的轉化，距離公式的應用，屬于中檔題．