Question

已知函數(shù)f（x）=2e^x-ax-2（a∈R）
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，易知x∈R，然后對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，借助于函數(shù)y=2e^x的圖象，通過(guò)變換得到f′（x）=2e^x-a的圖象，解不等式得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）這是一道不等式恒成立問(wèn)題，因此只需當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）_min≥0即可，再結(jié)合（1）中對(duì)函數(shù)單調(diào)性的研究，確定f（x）的最小值，則問(wèn)題可解．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=2e^x-a．
若a≤0，則f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
若a＞0，令f′（x）=0得x=ln

a

2

，易知
當(dāng)x∈（-∞，ln

a

2

）時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，ln

a

2

）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（ln

a

2

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在[ln

a

2

，+∞）上單調(diào)遞增；
綜上，a≤0時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；a＞0時(shí)，f（x）在（-∞，ln

a

2

）上單調(diào)遞減，在ln

a

2

，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）注意到f（0）=0．
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，則當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，只需f（x）_min=f（0）=0，顯然成立．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)
若ln

a

2

≤0，即0＜a≤2，則當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，f（x）≥f（0）=0，符合題意．
若ln

a

2

＞0，即a＞2，則當(dāng)x∈（0，ln

a

2

）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，又因?yàn)閒（0）=0，所以此時(shí)f（x）＜0，不合題意．
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式恒成立問(wèn)題．對(duì)于此類問(wèn)題在解不等式時(shí)要充分利用數(shù)形結(jié)合的思想輔助分析，進(jìn)行討論；而不等式恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，再進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求最值．