Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點為A，在x軸負半軸上有一點B，滿足

BF1

=

F1F2

，AB⊥AF₂．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率．
（Ⅱ）D是過A，B，F(xiàn)₂三點的圓上的點，D到直線l：x-

3

y-3=0的最大距離等于橢圓長軸的長，求橢圓C的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì),橢圓的標(biāo)準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）設(shè)B（x₀，0），由F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），A（0，b），由

BF1

=

F1F2

，可得x₀=-3c．由AB⊥AF₂，可得

AB

•

AF2

=-3c²+b²=0，再利用a²=b²+c²．即可得出．
（II）由（1）知

c

a

=

1

2

，得c=

1

2

a．由題意知△ABF₂為直角三角形，BF₂為斜邊，△ABF₂的外接圓圓心為F₁（-

1

2

a，0），半徑r=a．D到直線l：x-

3

y-3=0的最大距離等于2a，圓心到直線的距離為a，利用點到直線的距離公式即可得出．

解答： 解：（I）設(shè)B（x₀，0），由F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），A（0，b），
∵滿足

BF1

=

F1F2

，
∴（-c-x₀，0）=（2c，0），∴-c-x₀=2c．
解得x₀=-3c．
∵AB⊥AF₂，

AB

=（-3c，-b），

AF2

=（c，-b）．
∴

AB

•

AF2

=-3c²+b²=0，
∴a²=b²+c²=4c²．
∴a=2c．
故橢圓C的離心率e=

1

2

．
（II）由（1）知

c

a

=

1

2

，得c=

1

2

a．
可得B(-

3

2

a，0)，F2(

1

2

a，0)．
由題意知△ABF₂為直角三角形，BF₂為斜邊，
∴△ABF₂的外接圓圓心為F₁（-

1

2

a，0），半徑r=a．
D到直線l：x-

3

y-3=0的最大距離等于2a，
∴圓心到直線的距離為a，
∴

|- 1 2 a-3|

1+(- 3 )2

=a，解得a=2，
解得c=1，b=

3

．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準方程及其性質(zhì)、三角形的外接圓的性質(zhì)、點到直線的距離公式、直角三角形的性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．