Question

已知函數(shù)f（x）=x|m-x|（x∈R），且f（4）=0．
（1）求實(shí)數(shù)m的值
（2）作出函數(shù)f（x）的圖象，并判斷其零點(diǎn)個數(shù)
（3）根據(jù)圖象指出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用f（4）=0，建立方程關(guān)系即可求實(shí)數(shù)m的值
（2）將函數(shù)表示為分段函數(shù)形式，利用分段函數(shù)即可作出函數(shù)f（x）的圖象，并判斷其零點(diǎn)個數(shù)．
（3）根據(jù)圖象即可求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x|m-x|（x∈R），且f（4）=0．
∴f（4）=4|m-4|=0得m=4．
（2）∵m=4，∴f（x）=x|4-x|，
即f（x）=

x(4-x，) x≤4 x(x-4)， x＞4

圖象如右圖：
由圖象可見，零點(diǎn)有2個．
（3）由圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[2，4]．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)解析式和圖象的做法，以及利用函數(shù)圖象確定函數(shù)零點(diǎn)和單調(diào)性問題，比較基礎(chǔ)．