Question

1．如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中點(diǎn)，
（1）求直線BC與平面EAC所成角的正弦值；
（2）求B點(diǎn)到平面EAC的距離．

Answer 1

分析 （1）首先分別以直線AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)．可設(shè)平面EAC的法向量為$\overrightarrow{n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$即可求出$\overrightarrow{n}$，設(shè)直線BC與平面EAC所成角為θ，由$sinθ=|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BC}＞|$即可求得答案．
（2）作BO⊥平面EAC，垂足為O，則根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BO}=k\overrightarrow{n}}\\{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$即可求出O點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出B點(diǎn)到平面EAC的距離為$|\overrightarrow{BO}|$．

解答 解：（1）根據(jù)已知條件知，AB，AD，AP三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則：

A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），E（0，2，1）；
設(shè)平面EAC的法向量為$\overrightarrow{n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，則$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{AC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2{y}_{1}+{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2{x}_{1}+4{y}_{1}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{z}_{1}=-2{y}_{1}}\\{{x}_{1}=-2{y}_{1}}\end{array}\right.$，取y₁=1，則$\overrightarrow{n}=（-2，1，-2）$；
$\overrightarrow{BC}=（0，4，0）$，設(shè)直線BC與平面EAC所成角為θ，則：
sinθ=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BC}＞$|=$\frac{4}{3×4}=\frac{1}{3}$；
∴直線BC與平面EAC所成角的正弦值為$\frac{1}{3}$；
（2）過B作BO⊥平面EAC，垂足為O，設(shè)O（x，y，z），則：$\overrightarrow{BO}=k\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{n}=0$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{（x-2，y，z）=k（-2，1，-2）}\\{-2x+y-2z=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2-2k}\\{y=k}\\{z=-2k}\\{-2x+y-2z=0}\end{array}\right.$；
∴-2（2-2k）+k-2（-2k）=0；
∴$k=\frac{4}{9}$；
∴$\overrightarrow{BO}=\frac{4}{9}（-2，1，-2）$；
∴$|\overrightarrow{BO}|=\frac{4}{3}$；
∴B點(diǎn)到平面EAC的距離為$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決線面角、空間點(diǎn)到一平面距離的問題的方法，平面法向量的概念，直線和平面所成角與直線方向向量和平面法向量所成角的關(guān)系，共線向量基本定理，線面垂直的性質(zhì)，以及兩非零向量垂直的充要條件．