Question

2．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{m+25}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1上存在一點(diǎn)P，它與兩焦點(diǎn)連線互相垂直，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓$\frac{{x}^{2}}{m+25}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1上至少存在一點(diǎn)P，使得它與兩焦點(diǎn)連線互相垂直，結(jié)合橢圓的性質(zhì)得：∠F₁AF₂≥90°，即OA≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF₂，從而得出正實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：如圖，∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{m+25}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1上至少存在一點(diǎn)P，使得它與兩焦點(diǎn)連線互相垂直，
設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為A，
結(jié)合橢圓的性質(zhì)得：∠F₁AF₂≥90°，
∴∠OAF₂≥45°，
即OA≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF₂，⇒0＜m≤$\frac{1}{2}$（m+25）⇒0＜m≤25，
則正實(shí)數(shù)m的取值范圍為（0，25]．
故答案為：（0，25]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和數(shù)形結(jié)合能力．