Question

16．已知以點(diǎn)C（1，-3）為圓心的圓C截直線4x-3y+2=0得到的弦長(zhǎng)等于2，橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，中心為原點(diǎn)，橢圓E的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P在橢圓E上，△F₁PF₂是直角三角形，若橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)是圓C與坐標(biāo)軸的一個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可解得點(diǎn)C到直線4x-3y+2=0的距離，從而求圓的半徑，進(jìn)而寫出圓C的方程，從而解出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6寫出橢圓的方程，從而結(jié)合圖象可知∠PF₁F₂=90°或∠PF₂F₁=90°，從而來(lái)解出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)即可．

解答 解：如右圖，
點(diǎn)C到直線4x-3y+2=0的距離
d=$\frac{|4×1+3×3+2|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=3，
故r=$\sqrt{t9kfmmn^{2}+1}$=$\sqrt{10}$，
故圓C的方程為（x-1）²+（y+3）²=10，
令y=0解得，x=0或x=2，
故橢圓的一點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
故c=2，
再由橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6知，
a=3；
故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1；
又∵點(diǎn)P在橢圓E上，△F₁PF₂是直角三角形，
∴∠PF₁F₂=90°或∠PF₂F₁=90°，
∴設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x₀，則|x₀|=2，
故$\frac{4}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
故|y₀|=$\frac{5}{3}$；
即點(diǎn)P到x軸的距離為$\frac{5}{3}$；
故答案為：$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的方程的求法及橢圓與直線的位置關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．