Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{（sinx-cosx）sin2x}{sinx}$．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在Rt△ABC中，∠B=$\frac{π}{2}$，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由（1）可得：f（A）=$\sqrt{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$）-1，又0$＜A＜\frac{π}{2}$，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得sin（2A-$\frac{π}{4}$）的范圍，從而可求f（A）的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{（sinx-cosx）sin2x}{sinx}$=2cosx（sinx-cosx）=sin2x-（1+cos2x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1，
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[k$π-\frac{π}{8}$，k$π+\frac{3π}{8}$]，k∈Z，
（2）∵由（1）可得：f（A）=$\sqrt{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$）-1，
又∵∠B=$\frac{π}{2}$，可得0$＜A＜\frac{π}{2}$，
∴可得：-$\frac{π}{4}$＜2A-$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴sin（2A-$\frac{π}{4}$）∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，$\sqrt{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$）-1∈（-1，$\sqrt{2}$]，
∴f（A）的取值范圍是：（-1，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．