Question

7．給出下列四個命題：
①點（1，-2，4）關于原點對稱的對稱點的坐標為（-1，2，-4）；
②若一個圓柱的側面展開圖是一個長和寬分別為6和4的矩形，則這個圓柱的體積為$\frac{24}{π}$；
③經(jīng)過點（1，1）且在兩坐標軸上的截距相等的直線是x+y=2；
④把一個三棱柱的各個面伸展成平面，則可把空間分為21部分．
其中正確的命題有①④．

Answer 1

分析 ①利用關于原點對稱的對稱點的坐標的特點即可得出；
②若一個圓柱的側面展開圖是一個長和寬分別為6和4的矩形，則2πr=6，解得$r=\frac{3}{π}$，利用圓柱的體積計算公式即可得出；
③分截距為0與不等于0討論，即可判斷出正誤；
④把一個三棱柱的各個面伸展成平面，查一下即可得出．

解答 解：①點（1，-2，4）關于原點對稱的對稱點的坐標為（-1，2，-4），正確；
②若一個圓柱的側面展開圖是一個長和寬分別為6和4的矩形，則2πr=6，解得$r=\frac{3}{π}$，∴這個圓柱的體積V=$π（\frac{3}{π}）^{2}×4$=$\frac{36}{π}$，因此不正確；
③經(jīng)過點（1，1）且在兩坐標軸上的截距相等的直線是x+y=2或y=x，因此不正確；
④把一個三棱柱的各個面伸展成平面，則可把空間分為21部分，正確．
故正確答案為：①④．

點評 本題查克拉簡易邏輯的判定方法、關于原點對稱的對稱點的坐標的特點、圓柱的展開圖、直線的截距式、三棱柱，考查了分類討論與空間想象能力及其推理能力，屬于中檔題．