Question

8．已知A是函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)，B，C是f（x）圖象上相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心，且△ABC的面積為$\frac{1}{2}$，若存在常數(shù)M（M＞0），使得f（x+M）=Mf（-x），則該函數(shù)的解析式是f（x）=-sinπx．

Answer 1

分析 由題意可得A的縱坐標(biāo)為1，再根據(jù)△ABC的面積為$\frac{1}{2}$，求得ω=π，再根據(jù)存在常數(shù)M（M＞0），使得f（x+M）=Mf（-x），求得φ，可得函數(shù)的解析式．

解答 解：由題意可得A的縱坐標(biāo)為1，BC=$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{ω}$，△ABC的面積為$\frac{1}{2}$•$\frac{π}{ω}$•1=$\frac{1}{2}$，
∴ω=π，f（x）=sin（πx+φ）．
∵存在常數(shù)M（M＞0），使得f（x+M）=Mf（-x），即sin（πx+Mπ+φ）=Msin（-πx+φ），
∴M=1，φ=π，∴f（x）=sin（πx+π）=-sinπx，
故答案為：-sinπx．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題．