Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足（a_n+1-1）（a_n-1）=3（a_n-a_n+1），a₁=2，令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n•3ⁿ}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由（a_n+1-1）（a_n-1）=3（a_n-a_n+1）=3[（a_n-1）-（a_n+1-1）]，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3}$，即b_n+1-b_n=$\frac{1}{3}$．利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）$_{n}•{3}^{n}$=（n+2）•3^n-1．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵（a_n+1-1）（a_n-1）=3（a_n-a_n+1）=3[（a_n-1）-（a_n+1-1）]，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3}$，即b_n+1-b_n=$\frac{1}{3}$．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項為1，公差為$\frac{1}{3}$．
∴b_n=1+$\frac{1}{3}$（n-1）=$\frac{n+2}{3}$．
（2）$_{n}•{3}^{n}$=（n+2）•3^n-1．
∴數(shù)列{b_n•3ⁿ}的前n項和S_n=3+4×3+5×3²+…+（n+2）•3^n-1．
∴3S_n=3×3+4×3²+…+（n+1）×3^n-1+（n+2）•3ⁿ，
∴-2S_n=3+3+3²+…+3^n-1-+（n+2）•3ⁿ=2+$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-（n+2）•3ⁿ=2+$\frac{-（2n+3）×{3}^{n}-1}{2}$，
∴S_n=$\frac{（2n+3）×{3}^{n}-3}{4}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．