Question

18．已知圓M的方程：x²+（y-2）²=1，直線l方程為x-2y=0，點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P做圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)A，B．
（1）若∠APB=60°，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）求四邊形PAMB的面積的最小值與周長的最小值．
（3）求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題可知MP=2，M（0，2），由此可求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求出四邊形PAMB的面積和周長，由勾股定理和過M作MP'垂直于直線時，可得最短距離為d，即有最小值；
（3）利用向量的數(shù)量積公式，計(jì)算$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$，結(jié)合切線長公式，利用配方法，即可求得最小值．

解答 解：（1）設(shè)P（2m，m），
由題可知MP=2，M（0，2），
所以（2m）²+（m-2）²=4，
解之得m=0或m=$\frac{4}{5}$．
故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（0，0）或（$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$）；
（2）四邊形PAMB的面積為S=$\frac{1}{2}$PA•AM+$\frac{1}{2}$PB•BM=PA，
PA²=PM²-1，當(dāng)PM最小時，PA最�。�
過M作MP'垂直于直線時，最短距離為d=$\frac{|0-2×2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
即有面積最小為P'A=$\frac{\sqrt{55}}{5}$；
周長為PA+PB+AM+BM=2PA+2，
即有周長的最小值為2+$\frac{2\sqrt{55}}{5}$；
（3）設(shè)P（2m，m），則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{PA}$|²cos∠APB，
又|$\overrightarrow{PA}$|²=PM²-1，cos∠APB=1-$\frac{2}{P{M}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=PM²+$\frac{2}{P{M}^{2}}$-3
又PM²=（2m）²+（m-2）²=5m²-4m+4∈[$\frac{16}{5}$，+∞），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（PM-$\frac{\sqrt{2}}{PM}$）²+2$\sqrt{2}$-3∈[$\frac{33}{40}$，+∞），
故$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值為$\frac{33}{40}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．