Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-|x|，x≤2}\\{（x-2）^{2}，x＞2}\end{array}\right.$，函數(shù)g（x）=b-f（2-x），其中b∈R，若函數(shù)y=f（x）-g（x）恰好有四個零點，則b的取值范圍是（$\frac{7}{4}$，2）．

Answer 1

分析 函數(shù)y=f（x）-g（x）恰好有四個零點可化為函數(shù)y=f（x）+f（2-x）與y=b的圖象有四個交點，從而化簡y=f（x）+f（2-x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2，x＜0}\\{2，0≤x≤2}\\{{x}^{2}-5x+8，x＞2}\end{array}\right.$，作圖象求解．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-|x|，x≤2}\\{（x-2）^{2}，x＞2}\end{array}\right.$，
∴f（2-x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-|2-x|，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
∵函數(shù)y=f（x）-g（x）恰好有四個零點，
∴方程f（x）-g（x）=0有四個解，
即f（x）+f（2-x）-b=0有四個解，
即函數(shù)y=f（x）+f（2-x）與y=b的圖象有四個交點，
y=f（x）+f（2-x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2，x＜0}\\{2，0≤x≤2}\\{{x}^{2}-5x+8，x＞2}\end{array}\right.$，
作函數(shù)y=f（x）+f（2-x）與y=b的圖象如下，
，
f（$\frac{1}{2}$）+f（2-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{5}{2}$）+f（2-$\frac{5}{2}$）=$\frac{7}{4}$，
結合圖象可知，
$\frac{7}{4}$＜b＜2，
故答案為：（$\frac{7}{4}$，2）．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應用及數(shù)形結合的思想應用，同時考查了函數(shù)的零點與函數(shù)的圖象的交點的關系應用．