Question

14．已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓右頂點到直線x+y+$\sqrt{3}$=0的距離為$\sqrt{6}$，離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知A為橢圓與y軸負半軸的交點，設直線l：y=x+m，是否存在實數m，使直線l與橢圓有兩個不同的交點M、N，是|AM|=|AN|，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓右頂點到直線x+y+$\sqrt{3}$=0的距離為$\sqrt{6}$，離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求出a，b，即可求解橢圓方程；
（Ⅱ）設橢圓與直線y=x+m相交于不同的兩點M、N，中點為P，聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理以及判別式求出m的范圍，通過中點坐標，以及|AM|=|AN|，求出m的值，判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓右頂點到直線x+y+$\sqrt{3}$=0的距離為$\sqrt{6}$，離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{|a+\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{6}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，
∴b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設P為弦MN的中點．聯立直線l：y=x+m與橢圓得4x²+6mx+3m²-3=0，
由于直線與橢圓有兩個交點，∴△＞0，
解得：-2＜m＜2．
由韋達定理可知：P（-$\frac{3m}{4}$，$\frac{m}{4}$）．
∴k_AP=$\frac{\frac{m}{4}+1}{\frac{3m}{4}}$，
又|AM|=|AN|，
∴AP⊥MN，則$\frac{\frac{m}{4}+1}{\frac{3m}{4}}$=-1，即m=2，
∵-2＜m＜2．
∴不存在實數m使|AM|=|AN|．

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系的應用，存在性問題的解題策略，難度比較大，注意m的范圍是易錯點．