Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．且過點（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，1）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l過橢圓C的右焦點F且與橢圓C交于A，B兩點，在橢圓C上是否存在點P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．且過點（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，1），建立方程求得a和b，即可橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）把l：x=ty+1代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可求得y₁+y₂和y₁y₂的表達(dá)式，可得點P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，求得t，進(jìn)而求得P點坐標(biāo)與直線l的方程．

解答 解：（1）由已知得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$a=\sqrt{3}$c，∴b=$\sqrt{2}$c
又橢圓過點（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，1），代入橢圓方程得c=1，
∴a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的直線
由題意知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為l：x=ty+1
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），把l：x=ty+1代入橢圓方程得$\frac{（ty+1）^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
整理得（2t²+3）y²+4ty-4=0，顯然△＞0．
由韋達(dá)定理有：y₁+y₂=-$\frac{4t}{2{t}^{2}+3}$，
∴x₁+x₂=$\frac{6}{2{t}^{2}+3}$
∴P（$\frac{6}{2{t}^{2}+3}$，-$\frac{4t}{2{t}^{2}+3}$）
∵P在橢圓上，∴代入橢圓方程整理得（2t²+3）（2t²-1）=0
∴t=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
當(dāng)t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，點P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），直線的方程為$\sqrt{2}x$-y-$\sqrt{2}$=0．
當(dāng)t=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，點P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），直線的方程為$\sqrt{2}x$+y-$\sqrt{2}$=0．

點評 本題考查橢圓C的方程的求法，探究橢圓C上是否存在點P，使得$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立，考查韋達(dá)定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，有難度．