4.如圖所示,點B在以PA為直徑的圓周上,點C在線段AB上,已知PA=5,PB=3,PC=$\frac{15\sqrt{2}}{7}$,設(shè)∠APB=α,∠APC=β,α,β均為銳角,則角β的值為$\frac{π}{4}$.

分析 利用tanβ=tan[α-(α-β)]=$\frac{tanα-tan(α-β)}{1+tanα•tan(α-β)}$代入計算即得結(jié)論.

解答 解:∵點B在以PA為直徑的圓周上,
∴∠ABP=90°,
∴cosα=$\frac{PB}{PA}$=$\frac{3}{5}$,sinα=$\frac{4}{5}$,∴tanα=$\frac{4}{3}$,
∵cos∠CPB=cos(α-β)=$\frac{PB}{PC}$=$\frac{3}{\frac{15\sqrt{2}}{7}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$,sin(α-β)=$\frac{\sqrt{2}}{10}$,
∴tan(α-β)=$\frac{1}{7}$,
∴tanβ=tan[α-(α-β)]=$\frac{tanα-tan(α-β)}{1+tanα•tan(α-β)}$=1,
又∵β∈(0,$\frac{π}{2}$),
∴β=$\frac{π}{4}$,
故答案為:$\frac{π}{4}$.

點評 本題考查三角函數(shù)的計算,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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15.已知正實數(shù)x+y滿足logax+logay=c,其中a>1,c∈R.
(1)若a=c=2,則x+y的最小值為4;
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A.3B.-3C.-11D.3或-11

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9.已知P為拋物線y2=-6x上一個動點,Q為圓${x^2}+{(y-6)^2}=\frac{1}{4}$上一個動點,那么點P到點Q的距離與點P到y(tǒng)軸距離之和的最小值是( 。
A.$\frac{{3\sqrt{17}-7}}{2}$B.$\frac{{3\sqrt{17}-4}}{2}$C.$\frac{{3\sqrt{17}-1}}{2}$D.$\frac{{3\sqrt{17}+1}}{2}$

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16.已知復(fù)數(shù)Z1=cos23°+isin23°和復(fù)數(shù)Z2=sin53°+isin37°,則Z1•Z2=(  )
A.$\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{1}{2}i$B.$\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$C.$\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$D.$\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{1}{2}i$

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13.(Ⅰ)已知α為第三象限角,f(α)=$\frac{{sin(α-\frac{π}{2})cos(\frac{3π}{2}+α)tan(π-α)}}{tan(-α-π)sin(-α-π)}$.
①化簡f(α);②若cos(α-$\frac{3π}{2}$)=$\frac{1}{5}$,求f(α)的值.
(Ⅱ)已知角α滿足$\frac{sinα+cosα}{2sinα-cosα}$=2;
①求tanα的值;②求sin2α+2cos2α-sinαcosα的值.

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14.集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},則A∩B=( 。
A.{x|x≥-1}B.{x|x≤2}C.{x|-1≤x≤2}D.{x|-1≤x<1}

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