Question

15．已知正實(shí)數(shù)x+y滿足log_ax+log_ay=c，其中a＞1，c∈R．
（1）若a=c=2，則x+y的最小值為4；
（2）若c=3時(shí)，對(duì)任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a²]使得上述方程成立，則a的取值范圍是[2，+∞）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可，
（2）先由方程log_ax+log_ay=3解出y，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題求解．

解答 解：（1）∵log_ax+log_ay=c，其中a＞1，c∈R．
∴l(xiāng)og_a（xy）=c，且x＞0，y＞0
則xy=a^c，
若a=c=2，
則xy=2²=4，
則x+y$≥2\sqrt{xy}$=2$\sqrt{4}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x=4=2時(shí)取等號(hào)，
故最小值為4．
（2）若c=3，
則xy=a³，即$y=\frac{a^3}{x}$，
則函數(shù)在[a，2a]上單調(diào)遞減，
若任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a²]使得上述方程成立，
∴$y∈[\frac{a^2}{2}，{a^2}]$，
故$\frac{{a}^{2}}{2}≥a$，
解得a≥2
故答案為（1）4；（2）[2，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)式的運(yùn)算、反比例函數(shù)的值域、集合的關(guān)系等問題，注意函數(shù)和方程思想的應(yīng)用．比較基礎(chǔ)．