Question

13．（Ⅰ）已知α為第三象限角，f（α）=$\frac{{sin（α-\frac{π}{2}）cos（\frac{3π}{2}+α）tan（π-α）}}{tan（-α-π）sin（-α-π）}$．
①化簡f（α）；②若cos（α-$\frac{3π}{2}$）=$\frac{1}{5}$，求f（α）的值．
（Ⅱ）已知角α滿足$\frac{sinα+cosα}{2sinα-cosα}$=2；
①求tanα的值；②求sin²α+2cos²α-sinαcosα的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）①由條件利用誘導公式，求得f（α）的解析式．
②由條件利用誘導公式求得sinα的值，再利用同角三角函數的基本關系求得cosα的值，可得 f（α）=-cosα 的值．
（Ⅱ） ①根據角α滿足$\frac{sinα+cosα}{2sinα-cosα}$=2，利用同角三角函數的基本關系求得tanα的值．
②根據tanα的值，利用同角三角函數的基本關系求得所求式子的值．

解答 解：（Ⅰ）①∵已知α為第三象限角，∴f（α）=$\frac{{sin（α-\frac{π}{2}）cos（\frac{3π}{2}+α）tan（π-α）}}{tan（-α-π）sin（-α-π）}$=$\frac{-cosα•sinα•（-tanα）}{-tanα•sinα}$=-cosα．
②若cos（α-$\frac{3π}{2}$）=-sinα=$\frac{1}{5}$，則sinα=-$\frac{1}{5}$，∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，∴f（α）=-cosα=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．
（Ⅱ） ①∵已知角α滿足$\frac{sinα+cosα}{2sinα-cosα}$=$\frac{tanα+1}{2tanα-1}$=2，∴tanα=1．
②sin²α+2cos²α-sinαcosα=$\frac{{sin}^{2}α+{2cos}^{2}α-sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{{tan}^{2}α+2-tanα}{{tan}^{2}α+1}$=$\frac{1+2-1}{1+1}$=1．

點評 本題主要考查同角三角函數的基本關系、誘導公式的應用，以及三角函數在各個象限中的符號，屬于基礎題．