Question

11．給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)y=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{|x+2|-2}$為奇函數(shù)；
②奇函數(shù)的圖象一定通過直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；
③函數(shù)y=2${\;}^{\frac{1}{x}}$的值域是（0，+∞）；
④若函數(shù)f（2x）的定義域?yàn)閇1，2]，則函數(shù)f（2^x）的定義域?yàn)閇1，2]；
其中正確命題的序號是（填上所有正確命題的序號）①④．

Answer 1

分析 ①通過函數(shù)的定義域化簡，得到y(tǒng)=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$，再由奇偶性的定義，即可判斷；
②比如奇函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象，即可判斷；
③由定義域和指數(shù)函數(shù)的值域，即可判斷；
④函數(shù)的定義域的定義：自變量x的取值集合，即可判斷；

解答 解：①函數(shù)首先必須滿足1-x²≥0，即-1≤x≤1，1≤x+2≤3，
則函數(shù)化簡為y=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$，定義域?yàn)閇-1，0）∪（0，1]，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
f（-x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{-x}$=-$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$=-f（x），即函數(shù)為奇函數(shù)，故①正確，
②比如y=$\frac{1}{x}$是奇函數(shù)，大圖象不過原點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；
③由于x≠0，則y≠1，函數(shù)y=2${\;}^{\frac{1}{x}}$的值域是（0，1）∪（1，+∞）．故③錯(cuò)誤；
④若函數(shù)f（2x）的定義域?yàn)閇1，2]，則f（x）的定義域?yàn)閇2，4]，令2≤2^x≤4，1≤x≤2，
則函數(shù)f（2^x）的定義域?yàn)閇1，2]，故④正確；
故答案為：①④

點(diǎn)評 本題考查與函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及運(yùn)用，以及抽象函數(shù)的定義域問題．涉及的知識點(diǎn)較多，比較綜合．