Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+|x-a|，a∈R．
（1）若a=-1，求函數(shù)y=f（x）（x∈[0，+∞）的圖象在x=1處的切線方程；
（2）若g（x）=x⁴，試討論方程f（x）=g（x）的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)；
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，若對(duì)于任意的x₁∈[a，a+2]，都存在x₂∈[a+2，+∞），使得f（x₁）f（x₂）=1024，求滿足條件的正整數(shù)a的取值的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，即可求出圖象在x=1處的切線方程；
（2）若g（x）=x⁴，方程等價(jià)于x=a或

x＞a x=1

或

x＜a x=-1

，分類討論，即可討論方程f（x）=g（x）的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)；
（3）確定函數(shù)f（x）在（a，+∞）上是增函數(shù)，且f（x）＞f（a）=a⁴＞0，對(duì)任意的x₁∈[a，a+2]，都存在x₂∈[a+2，+∞），使得f（x₁）f（x₂）=1024，所以[

1024

f(a+2)

，

1024

f(a)

]⊆[f（a+2），+∞），即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1，x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=-x³+x+1，從而f′（x）=-3x²+1．
當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=1，f′（1）=-2，
所以函數(shù)y=f（x） （x∈[0，+∞））的圖象在x=1處的切線方程為y-1=-2（x-1），
即2x+y-3=0．                  …（3分）
（2）f（x）=g（x）即為ax³+|x-a|=x⁴．
所以x⁴-ax³=|x-a|，從而x³（x-a）=|x-a|．
此方程等價(jià)于x=a或

x＞a x=1

或

x＜a x=-1

   …（6分）
所以當(dāng)a≥1時(shí)，方程f（x）=g（x）有兩個(gè)不同的解a，-1；
當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，方程f（x）=g（x）有三個(gè)不同的解a，-1，1；
當(dāng)a≤-1時(shí)，方程f（x）=g（x）有兩個(gè)不同的解a，1．    …（9分）
（3）當(dāng)a＞0，x∈（a，+∞）時(shí)，f（x）=ax³+x-a，f′（x）=3ax²+1＞0，
所以函數(shù)f（x）在（a，+∞）上是增函數(shù)，且f（x）＞f（a）=a⁴＞0．
所以當(dāng)x∈[a，a+2]時(shí)，f（x）∈[f（a），f（a+2）]，

1024

f(x)

∈[

1024

f(a+2)

，

1024

f(a)

]，
當(dāng)x∈[a+2，+∞）時(shí)，f（x）∈[f（a+2），+∞）．  …（11分）
因?yàn)閷?duì)任意的x₁∈[a，a+2]，都存在x₂∈[a+2，+∞），使得f（x₁）f（x₂）=1024，
所以[

1024

f(a+2)

，

1024

f(a)

]⊆[f（a+2），+∞）．     …（13分）
從而

1024

f(a+2)

≥f（a+2）．
所以f ²（a+2）≤1024，即f（a+2）≤32，也即a（a+2）³+2≤32．
因?yàn)閍＞0，顯然a=1滿足，而a≥2時(shí)，均不滿足．
所以滿足條件的正整數(shù)a的取值的集合為{1}．     …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．