Question

已知，在△ABC中，D是AB上一點，△ACD的外接圓交BC于E，AB=2BE．
（Ⅰ）求證：BC=2BD；
（Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC=2，EC=1，求BD的長．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：綜合題,立體幾何

分析：（Ⅰ）連接DE，證明△DBE∽△CBA，即可證明BC=2BD；
（Ⅱ）先求DE，利用CD是∠ACB的平分線，可得DA=1，根據(jù)割線定理求出BD．

解答： （Ⅰ）證明：連接DE，∵四邊形ABCD 是圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，
∴

BE

AB

=

BD

BC

，
又AB=2BE，∴BC=2BD          …（5分）                
（Ⅱ）由（Ⅰ）△DBE∽△CBA，知

BE

AB

=

ED

AC

，
又AB=2BE，∴AC=2DE，
∵AC=2，∴DE=1，而CD 是∠ACB 的平分線，∴DA=1，
設(shè)BD=x，根據(jù)割線定理得BD•BA=BE•BC
即x（x+1）=

1

2

（x+1）[

1

2

（x+1）+1]，
解得x=1，即BD=1     …（10分）

點評：本題考查與圓有關(guān)的比例線段，考查割線定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．