Question

17．設(shè)橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，一組平行直線的斜率是$\frac{3}{2}$
（1）這組直線何時(shí)與橢圓相交？
（2）當(dāng)它們與橢圓相交時(shí)，求它們中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)這組直線為y=$\frac{3}{2}$x+m，與橢圓方程聯(lián)立化為：9x²+6mx+2m²-18=0，令△＞0，解得m范圍即可得出．
（2）設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{9}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{9}=1$，相減利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)這組直線為y=$\frac{3}{2}$x+m，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，化為：9x²+6mx+2m²-18=0，
令△=36m²-36（2m²-18）＞0，解得$-3\sqrt{2}＜m＜3\sqrt{2}$．
∴這組直線的截距在范圍$（-3\sqrt{2}，3\sqrt{2}）$時(shí)與橢圓相交．
（2）設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{9}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{9}=1$，
相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$=0，
把$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=x，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=y，$\frac{3}{2}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，代入可得：
$\frac{2x}{4}+\frac{2y}{9}×\frac{3}{2}$=0，
化為3x+2y=0．
∴它們中點(diǎn)的軌跡方程是直線3x+2y=0在橢圓內(nèi)部的部分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、“中點(diǎn)弦”問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．