如圖，橢圓的左焦點為，過點的直線交橢圓于兩點.的最大值是，的最小值是，滿足.

(1) 求該橢圓的離心率；

(2) 設(shè)線段的中點為，的垂直平分線與軸和軸分別交于兩點，是坐標原點.記的面積為，的面積為，求的取值范圍.

 

 

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的離心率、橢圓與直線相交問題等基礎(chǔ)知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，設(shè)出F點坐標，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，得到代入已知中，得到，計算出橢圓的離心率；第二問，根據(jù)題意，設(shè)出橢圓方程和直線方程，兩方程聯(lián)立，消參，利用韋達定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范圍.

試題解析：(1) 設(shè)，則根據(jù)橢圓性質(zhì)得

而，所以有，

即，，因此橢圓的離心率為. （4分）

(2) 由(1)可知，，橢圓的方程為.

根據(jù)條件直線的斜率一定存在且不為零，設(shè)直線的方程為，

并設(shè)則由消去并整理得

從而有， （6分）

.

因為，所以，.

由與相似，所以

. （12分）

考點：橢圓的標準方程、橢圓的離心率、橢圓與直線相交問題.

 

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A． B． C． D．

 

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A. B.

C. D.

 

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A. B.3 C. D.

 

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某圓的圓心在直線上，并且在兩坐標軸上截得的弦長分別為4和8，則該圓的方程為（ ）

A.

B.

C.或

D.或

 

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已知橢圓過點，且離心率為.斜率為的直線與橢圓交于兩點，以為底邊作等腰三角形，頂點為.

（1）求橢圓的方程；

（2）求的面積．

 

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