【題目】已知函數(shù).
(1)求的最小值;
(2)求證:x>0時, .
【答案】(1) 當x=ln2時,f(x)有極小值也是最小值為f(ln2)=2(2﹣ln2);(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)對函數(shù)求導,列出表格得到導函數(shù)在定義域內(nèi)的正負情況,從而得到函數(shù)的最值。(2)構造函數(shù)設(x>0),研究這個函數(shù)的單調(diào)性,找到函數(shù)的最值,使得函數(shù)的最小值大于0即可.
解析:
(1)由f(x)=ex﹣2x+2(x∈R).得f′(x)=ex﹣2,
令f′(x)=ex﹣2=0得,x=ln2,
列表如下
x | ln2 | (ln2,+∞) | |
- | 0 | + | |
單調(diào)遞減 | 極小值 | 單調(diào)遞增 |
故當x=ln2時,f(x)有極小值也是最小值為f(ln2)=2(2﹣ln2);
(2)證明:設(x>0),則g′(x)=ex﹣2x+2,
由(1)知g′(x)=ex﹣2x+2有最小值g′(ln2)=2(2﹣ln2),
于是對于x>0,都有g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上遞增,
而g(0)=0,從而對任意x∈(0,+∞),g(x)>0,
即x>0時,ex>x2﹣2x+1.
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【題目】已知函數(shù)有極值,且導函數(shù)的極值點是的零點.
(1)求關于的函數(shù)關系式,并寫出定義域;
(2)證明:;
(3)若,這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào),求實數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若且,求證: .
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【題目】在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程是 (α為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標系.
(1)求曲線C的極坐標方程;
(2)設 ,若l1,l2與曲線C分別交于異于原點的A,B兩點,求△AOB的面積.
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【題目】一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的表面積為(單位:m2)( )
A. (11+4)π B. (12+4)π C. (13+4)π D. (14+4)π
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【題目】若函數(shù)對定義域D內(nèi)的每一個x1,都存在唯一的x2∈D,使得成立,則稱f (x)為“自倒函數(shù)”.給出下列命題:
①是自倒函數(shù);
②自倒函數(shù)f (x)可以是奇函數(shù);
③自倒函數(shù)f (x)的值域可以是R;
④若都是自倒函數(shù),且定義域相同,則也是自倒函數(shù).
則以上命題正確的是_______(寫出所有正確命題的序號).
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【題目】在一次珠寶展覽會上,某商家展出一套珠寶首飾,第1件首飾是1顆珠寶,第2件首飾是由6顆珠寶構成的如圖1所示的正六邊形,第3件首飾是由15顆珠寶構成的如圖2所示的正六邊形,第4件首飾是由28顆珠寶構成的如圖3所示的正六邊形,第5件首飾是由45顆珠寶構成的如圖4所示的正六邊形,以后每件首飾都在前一件的基礎上,按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶,使它構成更大的正六邊形,依此推斷:
(1)第6件首飾上應有________顆珠寶;
(2)前n(n∈N*)件首飾所用珠寶總顆數(shù)為________.(結果用n表示)
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【題目】已知拋物線C:y2=4x和直線l:x=-1.
(1)若曲線C上存在一點Q,它到l的距離與到坐標原點O的距離相等,求Q點的坐標;
(2)過直線l上任一點P作拋物線的兩條切線,切點記為A,B,求證:直線AB過定點.
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