Question

9．橢圓E中心在原點(diǎn)，以拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為其一個(gè)焦點(diǎn)，且E經(jīng)點(diǎn)P（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），則橢圓短軸長為2．

Answer 1

分析 由已知得所求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0），從而設(shè)橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}$=1，a＞0，又橢圓E經(jīng)點(diǎn)P（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），由此能求出橢圓短軸長．

解答 解：∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），
橢圓E中心在原點(diǎn)，以拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為其一個(gè)焦點(diǎn)，
∴所求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0），
設(shè)橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}$=1，a＞0，
∵橢圓E經(jīng)點(diǎn)P（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∴$\frac{16}{9{a}^{2}}$+$\frac{1}{9{a}^{2}-9}$=1，即9a⁴-26a²+16=0，
解得a²=2或a²=$\frac{8}{9}$（舍），
∴b²=2-1=1，b=1，
∴橢圓短軸長為2b=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的短軸長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．