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【題目】已知函數.

1)當x∈[1,4]時,求函數的值域;

2)如果對任意的x∈[1,4],不等式恒成立,求實數k的取值范圍

【答案】(1[0,2]. 2) (-,-3.

【解析】試題分析:(1) 令tlog2x,則函數hx)轉化為關于t 的二次函數:hx)=-2t122 ,根據x∈[1,4],得t∈[0,2],結合對稱軸與定義區(qū)間位置關系確定函數最值和值域(2) 令tlog2x,則(34t)(3t>k·t對一切t∈[0,2]恒成立,當t0時,k∈R;當t∈02]時,利用變量分離法轉化為對應函數最值:最小值,根據基本不等式求最值:即得實數k的取值范圍

試題解析:(1hx)=(42log2x·log2x=-2log2x122

因為x∈[1,4],所以log2x∈[02],

故函數hx)的值域為[0,2].

2)由fx2·f()>k·gx),

得(34log2x)(3log2x>k·log2x

tlog2x,因為x∈[1,4],所以tlog2x∈[0,2],

所以(34t)(3t>k·t對一切t∈[0,2]恒成立,

t0時,k∈R;

t∈0,2]時,恒成立,即,因為,當且僅當時取等號,所以的最小值為-3,

綜上,k∈(-,-3.

練習冊系列答案
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