Question

19．已知邊長為2的等邊三角形ABC，過C作BC的垂線l，則將△ABC繞l旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體的體積是（　�。�

• A． $2\sqrt{3}π$
• B． $4\sqrt{3}π$
• C． $2\sqrt{5}π$
• D． $4\sqrt{5}π$

Answer 1

分析 幾何體為圓臺減去一個小圓錐，分別求出圓臺和圓錐的體積即可．

解答 解：則將△ABC繞l旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓臺挖去一個小圓錐，圓臺的上下底面半徑分別為r=1，R=2，圓臺的高為h=$\sqrt{3}$．
圓錐的底面半徑為r′=1，高為h=$\sqrt{3}$．
∴圓臺的上底面積為S=πr²=π，下底面積為S′=πR²=4π，圓錐的底面積為π
∴圓臺的體積V₁=$\frac{1}{3}$（π+4π+2π）$•\sqrt{3}$=$\frac{7}{3}$$\sqrt{3}π$．圓錐的體積V₂=$\frac{1}{3}•π•\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}π$．
∴幾何體的體積V=V₁-V₂=2$\sqrt{3}π$．
故選A．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征和體積計算，屬于中檔題．