Question

4．已知函數(shù)f（x）=a-be^-x的圖象在x=0處的切線方程為y=x．（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）
（Ⅰ） 求a，b的值；
（Ⅱ） 若g（x）=mlnx-e^-x+$\frac{1}{2}$x²-（m+1）x+1（m＞0），求函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，即有f（0）=0，f′（0）=1，解方程可得a=b=1；
（Ⅱ）化簡h（x），求得導數(shù)，對m討論，當0＜m＜1時，當m=1時，當m＞1時，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間，由導數(shù)小于0，可得減區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=a-be^-x的導數(shù)為f′（x）=be^-x，
即有f（0）=0，f′（0）=1，則a-b=0，b=1，
解得a=b=1；
（Ⅱ）由題意得h（x）=mlnx+$\frac{1}{2}$mx²-（m+1）x，x＞0，
h′（x）=$\frac{m}{x}$+x-（m+1）=$\frac{{x}^{2}-（m+1）x+m}{x}$=$\frac{（x-m）（x-1）}{x}$，
（1）當0＜m＜1時，令h′（x）＞0，并注意到函數(shù)的定義域（0，+∞），
得0＜x＜m或x＞1，則h（x）的增區(qū)間是（0，m），（1，+∞）；
同理可求h（x）的減區(qū)間是（m，1）；
（2）當m=1時，h′（x）≥0，則h（x）是定義域（0，+∞）內(nèi)的增函數(shù)；
（3）當m＞1時，令h′（x）＞0，并注意到函數(shù)的定義域（0，+∞）得0＜x＜1或x＞m，
則h（x）的增區(qū)間是（0，1），（m，+∞）； 同理可求h（x）的減區(qū)間是（1，m）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，正確求導和運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．