Question

已知θ∈（

5π

6

，π），sinθ+cosθ=2

2

sinθcosθ，則sin（2θ+

π

3

）=

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由二倍角的正弦函數(shù)公式化簡已知等式，再把所得的等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，結(jié)合θ的范圍求出sin2θ的值，再由平方關(guān)系求出cos2θ的值，利用兩角和的正弦函數(shù)公式求出sin（2θ+

π

3

）的值．

解答： 解：由sinθ+cosθ=2

2

sinθcosθ得，sinθ+cosθ=

2

sin2θ，
將上式兩邊平方得，1+sin2θ=2sin²2θ，
即2sin²2θ-sin2θ-1=0，解得sin2θ=-

1

2

或1，
由θ∈（

5π

6

，π），得2θ∈（

5π

3

，2π），
所以sin2θ=-

1

2

，則cos2θ=

3

2

，
所以sin（2θ+

π

3

）=

1

2

sin2θ+

3

2

cos2θ=

1

2

，
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式，兩角和的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，主義角的范圍和三角函數(shù)值的符號，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．