若直線ax+by+1=0被圓x2+y2=25截得的弦長等于8,則
3
a2
+
5
b2
的最小值為
 
考點:直線與圓相交的性質(zhì)
專題:直線與圓
分析:由題意可得弦心距為3,即
|0+0+1|
a2+b2
=3,化簡可得 a2+b2=
1
9
,再根據(jù)
3
a2
+
5
b2
=27+45+
27b2
a2
+
45a2
b2
,利用基本不等式求得它的最小值.
解答: 解:由于圓的半徑為5,弦長等于8,圓心為原點,故弦心距為3,
|0+0+1|
a2+b2
=3,化簡可得 a2+b2=
1
9
,則
3
a2
+
5
b2
=
27(a2+b2)
a2
+
45(a2+b2)
b2
=27+45+
27b2
a2
+
45a2
b2
 
≥72+2
27×45
=72+18
15
,當且僅當+
27b2
a2
=
45a2
b2
 時,取等號,
故答案為:72+18
15
點評:本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì),點到直線的距離公式,弦長公式,基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
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3
4
,
4
5
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2
2
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