Question

若點（

2

，2）在冪函數(shù)f（x）的圖象上，點（-2，

1

4

）在冪函數(shù)g（x）的圖象上，問當x為何值時，（1）f（x）＞g（x）；（2）f（x）=g（x）；（3）f（x）＜g（x）．

Answer 1

分析：求函數(shù)f（x），g（x）的解析式，由于已知兩函數(shù)是冪函數(shù)，故可用待定系數(shù)法設(shè)出兩函數(shù)的解析式，代入點的坐標求出函數(shù)的解析式．由于兩個函數(shù)在第一象限一個是減函數(shù)一個是增函數(shù)，故可令兩者相等，解出它們的交點坐標，再由函數(shù)的單調(diào)性得出f（x）＜g（x）的解集，由于兩函數(shù)都是偶函數(shù)，可由對稱性得出函數(shù)在（-∞，0）上的解集，取兩者的并集即得不等式f（x）＜g（x）的解集，即得所求的x的取值范圍．對于f（x）＞g（x）同樣可以利用圖象法求解．

解答：解：設(shè)f（x）=x^α，由點（

2

，2）在冪函數(shù)f（x）的圖象上，得(

2

)α=2，
∴α=2，則f（x）=x² ，同理得g（x）=x^-2
在同一坐標系中作出這兩個函數(shù)的圖象，如圖所示．
觀察圖象可得：
（1）當x＞1或x＜-1時，f（x）＞g（x）；
（2）當x=1或x=-1時，f（x）=g（x）；
（3）當-1＜x＜1，且x≠0時，f（x）＜g（x）．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)圖象交點、冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域等知識．考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．