Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n滿足S_n=n²+1，數(shù)列{b_n}滿足a_n=log₂$\frac{_{n}+1}{{a}_{n}+1}$．
（1）求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若T_n≤2015，求n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由S_n=n²+1，可得當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，可得${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{2n-1，n≥2}\end{array}\right.$．
由數(shù)列{b_n}滿足a_n=log₂$\frac{_{n}+1}{{a}_{n}+1}$．可得$\frac{_{n}+1}{{a}_{n}+1}$=${2}^{{a}_{n}}$，對(duì)n分類討論可得：b₁．當(dāng)n≥2時(shí)，b_n．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=11+（2³+2⁵+…+2^2n-1）+[3+5+…+（2n-1）]，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．由T_n≤2015，即$\frac{2}{3}×{4}^{n}$+n²+$\frac{22}{3}$≤2015．
解出即可．

解答 解：（1）∵S_n=n²+1，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+1-[（n-1）²+1]=2n-1，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{2n-1，n≥2}\end{array}\right.$．
∵數(shù)列{b_n}滿足a_n=log₂$\frac{_{n}+1}{{a}_{n}+1}$．
∴$\frac{_{n}+1}{{a}_{n}+1}$=${2}^{{a}_{n}}$，
當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{_{1}+1}{3}={2}^{2}$，解得b₁=11．
當(dāng)n≥2時(shí)，$_{n}={2}^{2n-1}+2n-1$．
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{11，n=1}\\{{2}^{2n-1}+2n-1，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=11+（2³+2⁵+…+2^2n-1）+[3+5+…+（2n-1）]
=11+$\frac{8（{4}^{n-1}-1）}{4-1}$+$\frac{（n-1）（3+2n-1）}{2}$
=11+$\frac{2}{3}×{4}^{n}$-$\frac{8}{3}$+n²-1
=$\frac{2}{3}×{4}^{n}$+n²+$\frac{22}{3}$．
由T_n≤2015，即$\frac{2}{3}×{4}^{n}$+n²+$\frac{22}{3}$≤2015．
當(dāng)n=5時(shí)，左邊=715＜2015；當(dāng)n=6時(shí)，左邊=2774＞2015．
因此滿足不等式T_n≤2015的n的最大值為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．