Question

14．（1）已知x，y都是正實數，求證：x³+y³≥x²y+xy²；
（2）已知a，b，c都是正實數，求證：a³+b³+c³≥$\frac{1}{3}$（a²+b²+c²）（a+b+c）．

Answer 1

分析 （1）用比較法證明不等式，（x³+y³ ）-（x²y+xy²）=（x+y）（x-y）²，分析符號可得結論．
（2）利用作差法，易證3（a³+b³+c³）-（a²+b²+c²）（a+b+c）=（a+b）（a-b）²+（b+c）（b-c）²+（a+c）（a-c）²，又a，b，c＞0，從而可得a³+b³+c³≥$\frac{1}{3}$（a²+b²+c²）（a+b+c）．

解答 證明：（1）∵（x³+y³ ）-（x²y+xy²）=x² （x-y）+y²（y-x）=（x-y）（x²-y² ）
=（x+y）（x-y）²．
∵x，y都是正實數，∴（x-y）²≥0，（x+y）＞0，∴（x+y）（x-y）²≥0，
∴x³+y³≥x²y+xy²．
（2）3（a³+b³+c³）-（a²+b²+c²）（a+b+c）
=3（a³+b³+c³）-（a³+b³+c³+a²b+b²a+a²c+c²a+b²c+c²b）
=[（a³+b³）-（a²b+b²a）]+[（b³+c³）-（b²c+c²b）]+[（a³+c³）-（a²c+c²a）]，
=[（a+b）（a²-ab+b²）-ab（a+b）]+[（b+c）（b²-bc+c²）-bc（b+c）]+[（a+c）（a²-ac+c²）-ac（a+c）]
=（a+b）（a-b）²+（b+c）（b-c）²+（a+c）（a-c）²，
∵a，b，c＞0，
∴a+b＞0，（a-b）²≥0，
∴（a+b）（a-b）²≥0，同理可得（b+c）（b-c）²≥0，（a+c）（a-c）²≥0，
∴（a+b）（a-b）²+（b+c）（b-c）²+（a+c）（a-c）²≥0，
∴a³+b³+c³≥$\frac{1}{3}$（a²+b²+c²）（a+b+c）．

點評 本題考查用比較法、作差法證明不等式，基本不等式的應用，將式子變形是證明的關鍵．